« Είναι αδύνατο να ισχύει για ακέραιους α,β,γ ότι β^ν+γ^ν=α^ν για ν>2 . Έχω ανακαλύψει μια πραγματικά θαυμάσια απόδειξη , όμως το περιθώριο της σελίδας είναι πολύ στενό για να την αναπτύξω » .
Pierre De Fermat
Το τελευταίο θεώρημα του Fermat . Μια πρόταση που έγινε αφορμή να γραφούν σειρά βιβλίων (μαθηματικών και λογοτεχνικών), ταινιών και που έφτασε στα όρια της μυθοποίησης. Ένας μύθος που τελικά καταρρίφθηκε σχεδόν δύο δεκαετίες παλαιότερα και ενώ είχε καταφέρει να μείνει ζωντανός πάνω από 3,5 αιώνες.
Όλα ξεκινούν χιλιάδες χρόνια πριν όταν διατυπώθηκε το γνωστό σε όλους μας Πυθαγόρειο Θεώρημα: β^2+γ^2=α^2. Δύο χιλιετίες αργότερα έρχεται στον κόσμο ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς όλων των εποχών ,ο P.Fermat (1601- 1665). Μέσα σε όλες τις προτάσεις και τα Θεωρήματα που διατυπώνει, γράφει και τη γενίκευση του Πυθαγορείου Θεωρήματος:
Δεν υπάρχουν φυσικοί αριθμοί που να επαληθεύουν τη σχέση: β^ν+γ^ν=α^ν για ν>2,
υποστηρίζοντας ότι σε αντίθεση με το Πυθαγόρειο Θεώρημα, εδώ η εύρεση αντίστοιχων αριθμών είναι αδύνατη. Επιπλέον γράφει στο περιθώριο της σελίδας των σημειώσεών του, ότι έχει ανακαλύψει μια πανέμορφη μαθηματική απόδειξη για αυτόν τον συλλογισμό του, η οποία όμως δε χωράει σε αυτόν τον λίγο χώρο που του απομένει. Μετά τον θάνατο του Fermat, η παγκόσμια μαθηματική κοινότητα έχοντας πέσει πάνω από τις σημειώσεις του, κατάφερε και έδωσε ολοκληρωμένες αποδείξεις για όλους τους ισχυρισμούς του Γάλλου μαθηματικού, για κάθε μη ολοκληρωμένη πρόταση που είχε διατυπώσει. Σε όλες (πλην μιας) ο Fermat είχε δίκιο και οι υποδείξεις-αποδείξεις που έδινε ήταν επαρκείς για την ολοκλήρωση κάθε μετέπειτα σκέψης. Όλα τα θεωρήματα του Fermat επαληθευτήκαν. Όλα εκτός από ένα. Ένα έμεινε στο τέλος και όσο κι αν προσπαθούσαν οι μαθηματικοί να το αποδείξουν, δε καταφέρνανε ούτε να το πλησιάσουν. Έτσι με το πέρασμα των χρόνων, έμεινε ανοικτό, γνωστό πλέον ως “το τελευταίο Θεώρημα του Fermat”.
Περισσότερο από 350!!! χρόνια πολύ μεγάλος αριθμός μαθηματικών, τα έβαλαν με αυτό το θεώρημα. Ένα θεώρημα που σιγά σιγά γίνεται μύθος. Να το είχε πράγματι αποδείξει ο μεγάλος Fermat; Κανένας δεν ξέρει. Μέσα στο τεράστιο εύρος μαθηματικών, συναντάμε και τεράστια ονόματα. Πρώτη προσπάθεια να νικήσει την εικασία αυτή, γίνεται από τον μεγάλο Euler (1707-1783), ο οποίος αποδεικνύει μεν την ισχύ της εικασίας του Fermat μόνο για τις περιπτώσεις ν=3 και ν=4 (και κατά επέκταση ν=6), αλλά η μεθοδολογία που ακολουθεί είναι τόσο διαφορετική η μια με την άλλη, που τον πείθουν ότι είναι αδύνατη η οποιαδήποτε προσπάθεια γενίκευσης της απόδειξής του μέσω αυτών των τεχνικών. Μάλιστα λέγεται ότι ήταν τόσο μεγάλη η απογοήτευσή του, που στέλνει ανθρώπους να ψάξουν ακόμη και το σπίτι του Fermat μήπως και ανακαλύψουν κάτι κάπου… . Περνάει ένας σχεδόν αιώνας, δεκάδων άκαρπων προσπαθειών, όπου εμφανίζεται ο μεγάλος μαθηματικός Dirichlet (1805-1859) και αποδεικνύει τη περίπτωση του ν=5, ενώ σχεδόν ταυτόχρονα οι Lame, Lebesque την περίπτωση ν=7. Λίγο αργότερα η S.Germain περιορίζει το πρόβλημα στις περιπτώσεις για ν=p, όπου p πρώτος αριθμός. Μέσα στο πέρασμα αυτό των αιώνων, εμφανίζονται χιλιάδες λάθος αποδείξεις. Οι περισσότερες άσημες, αλλά και κάποιες από πολύ μεγάλα «τέρατα» των μαθηματικών, όπως Cauchy, Lame, Kummer, Lindemann, Dickson κ.α. . Αποδείξεις που δε προσέφεραν απολύτως τίποτα στο θεώρημα του Fermat, αλλά οι μέθοδοι που αναπτύχθηκαν σε αυτές οδήγησαν σε τεράστιες ανακαλύψεις στον κλάδο των μαθηματικών (θεμελίωση της σύγχρονης Άλγεβρας).Λέγεται, ότι ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς όλων των εποχών, ο D.Hilbert σε ερώτηση που του έγινε γιατί δεν ασχολήθηκε ποτέ με το να αποδείξει το τελευταίο Θεώρημα του Fermat, δίνει δύο απαντήσεις: 1η: «πρέπει να αφιερώσω πάνω από 3 χρόνια στο να μάθω τα πάντα για αυτό και μετά να δώσω όλο μου τον εαυτό για κάτι που μάλλον δε θα καταφέρω..» (χαρακτηριστικό της δυσκολίας του), 2η: «γιατί να σκοτώσω τη κότα που γεννάει τα χρυσά αυγά» (χαρακτηριστικό το πόσο αναπτύχθηκαν τα μαθηματικά, στο κυνήγι αυτής της απόδειξης).Στην αρχή του 20ού αιώνα, ο Paul Wolfskehl (βιομήχανος & μαθηματικός), σύμφωνα με κάποιους ιστορικούς, φτάνει στα πρόθυρα αυτοκτονίας. Έχοντας προγραμματίσει την αυτοκτονία του για να περάσει η ώρα του βρίσκει και ξεφυλλίζει ένα βιβλίο που περιέγραφε μια από τις λάθος αποδείξεις (του Kummer). Το θεώρημα τον συνεπείρε τόσο πολύ, που όχι μόνο ξεχνιέται από την αυτοκτονία, αλλά νομίζει ότι έχει διορθώσει το λάθος. Φυσικά κάνει λάθος στον συλλογισμό του, αλλά αυτό δεν αναιρεί το γεγονός ότι όχι μόνο σώζεται η ζωή του, αλλά από ευγνωμοσύνη αποφασίζει να δώσει βραβείο 1 εκ. δολάρια (100.000 μάρκα) σε όποιον έβρισκε την πλήρη απόδειξη. Αμέσως χιλιάδες αποδείξεις κατακλύζουν την επιστημονική κοινότητα. Μέσα σε ένα έτος υποβλήθηκαν 621 «λύσεις», όλες λανθασμένες. Χαρακτηριστικά, ο καθηγητής Landau, υπεύθυνος για το βραβείο, τύπωσε ειδικές απαντητικές κάρτες προς όσους έστελναν «λύσεις» που έγραφαν τα εξής: «Αγαπητέ ..............., σας ευχαριστούμε για το χειρόγραφό σας πάνω στην απόδειξη του τελευταίου Θεωρήματος του Fermat. Το πρώτο λάθος είναι στη σελίδα...... γραμμή........ Αυτό καθιστά την απόδειξη άκυρη». Όλοι νικιούνται από τον μύθο. Φτάνουμε στα τέλη της δεκαετίας του ’90, που ο Buhler με χρήση και ηλεκτρονικών υπολογιστών καταφέρνει και αποδεικνύει την Εικασία για οποιοδήποτε ν<40.000.000. Αλλά αυτό στα μαθηματικά δεν είναι απόδειξη. Είναι απλά μια ένδειξη, ότι μάλλον ο Fermat έχει δίκιο. Αλλά ακόμη και το 40.000.000 μπροστά στο άπειρο είναι ότι είναι και το ν=3. Κάτι πολύ μικρό.
1963. Ένα δεκάχρονο παιδί διαβάζει και μαθαίνει για το τελευταίο Θεώρημα του Fermat. Ο Α.Wiles βάζει στόχο ζωής να αποδείξει αυτό το Θεώρημα. Ενηλικιώνεται και καταφέρνει να ξεκινήσει διδακτορικό στα μαθηματικά στο πανεπιστήμιο του Κέμπριτζ. Εκεί όμως οι καθηγητές του, τον αποθαρρύνουν για το αρχικό του εγχείρημα. Ήδη όλοι πια θεωρούν την Εικασία του Fermat, ως κάτι αδύνατο να αποδειχτεί με το ανθρώπινο μυαλό. Πάνω από 350 χρόνια το τελευταίο Θεώρημα του Fermat ήταν ένα μεμονωμένο πρόβλημα , ένας μυστηριώδης και αποκλεισμένος γρίφος των μαθηματικών. Το 1986 οι Shimura-Taniyama, Frey, Ribet σε επί μέρους εργασίες καταφέρνουν να συνδέσουν εντελώς διαφορετικούς κλάδους των μαθηματικών (θεωρία ελλειπτικών καμπυλών, Modular forms, μιγαδική ανάλυση), που με ορισμένες προχωρημένες σκέψεις, οδηγούσαν σε παραλλαγή της εικασίας του Fermat.Ο Α.Wiles δεν άφησε αυτές τις ανακαλύψεις να πάνε χαμένες. Αρχίζει να βλέπει ξαφνικά φως σε αυτό το απλησίαστο παιδικό του όνειρο. Πλέον υπάρχει τρόπος κάποιος να φτάσει στην απόδειξη. Με πλήρη μυστικότητα ξεκινάει και δουλεύει ασταμάτητα στη σοφίτα του σπιτιού του (1987). Μετά από έξι χρόνια αδιάκοπης προσπάθειας και πλήρους μυστικότητας φτάνει στο τέλος (1993). Τα συναισθήματά του απλά δε μπορούν να περιγραφούν. Προγραμματίζει μια σειρά τριών διαλέξεων στο πανεπιστήμιο του Κέμπριτζ: Θέμα: «ελλειπτικές καμπύλες και αναπαραστάσεις Galois». Ο Wiles δίνει έναν άσχετο τίτλο, ώστε να εντυπωσιάσει ακόμη περισσότερο στο τέλος. Μετά το πέρας της 2ης νοιώθει πια όλο το ακροατήριο ότι ουσιαστικά έχει αποδείξει το τελευταίο θεώρημα του Fermat. Μετά την ολοκλήρωση και της τρίτης, επικρατεί ένας ενθουσιώδης πανικός. Ο μύθος νικήθηκε. Ο Fermat είχε δίκιο και πλέον η μαθηματική κοινότητα είχε στα χέρια της και μια λαμπρή απόδειξη.
Η απόδειξη του Wiles αφήνεται στους κριτές του περιοδικού Annals of Mathematics για έλεγχο . Και ξαφνικά εφιάλτης. Μετά από μήνες ασταμάτητου ελέγχου, η επιτροπή κρίσης εντοπίζει ένα σημείο ασαφές/λάθος στην απόδειξη, το οποίο και αδυνατεί να διορθώσει ο Wiles. Μικρά λάθη βρισκόντουσαν πολλά (όπως σε κάθε δημοσιευμένο άρθρο συμβαίνει), αλλά όλα ο Wiles τα διόρθωνε την ίδια μέρα με το που τον ενημερώνανε η επιτροπή. Όλα εκτός από αυτό. Όσο κι αν προσπαθεί δε τα καταφέρνει και φτάνει στο σημείο να το παραδεχτεί και δημόσια μέσω ενός email που στέλνει. Τελικά νικήθηκε.
Ο Wiles λίγο πριν εγκαταλείψει κάθε του προσπάθεια, έχοντας ζητήσει βοήθεια και ενός μαθητή του R.Taylor, καταφέρνει να κάνει μια πολύ σημαντική παρατήρηση. Μια παλαιότερη τεχνική του που δε του έδωσε απάντηση όταν την εφάρμοσε στο γενικό πρόβλημα, του έδινε απάντηση στο λάθος που είχε βρεθεί στην απόδειξη. Ο Wiles αποδεικνύεται σωστός. Είχε δίκιο και πλέον είχε στα χέρια του την πλήρη απόδειξη του τελευταίου Θεωρήματος του Fermat. Μετά από 14 επιπλέον μήνες. Σεπτέμβριος του 1994 και όλα τελειώνουν. Ο ίδιος ο Wiles περιγράφει την αντίδρασή του σε αυτή την ανακάλυψη: «Ήταν τόσο απερίγραπτα όμορφη, ήταν τόσο απλή και συνάμα μεγαλόπρεπη. Την πρώτη νύχτα πήγα σπίτι και κοιμήθηκα με τις σκέψεις αυτής της ανακάλυψης. Και το επόμενο πρωί την έλεγξα και την βρήκα εντάξει. Ήταν κάτι που ήθελα να το ανακοινώσω στη γυναίκα μου με μεγάλη ικανοποίηση. Το βρήκα! Βρήκα τη διόρθωση στην απόδειξή μου!!!
Πόσο εύστοχο το «Σαν πας στον πηγεμό για την Ιθάκη…»
Ένα τεράστιο θεώρημα. Σπάνια βλέπουμε ανακαλύψεις στα μαθηματικά να βλέπουν το φως της δημοσιότητας. Στο τελευταίο Θεώρημα του Fermat, έγινε ακριβώς το αντίθετο. Τόσο ήταν το πάθος και ο διακαής πόθος όλων να καταρριφτεί αυτή η Εικασία. Ακολούθησαν δεκάδες βραβεία για τον Wiles, μέχρι και ένα ειδικό Fields Medal (αντίστοιχο του Νόμπελ) του απονεμήθηκε, καθώς το κανονικό δε μπορούσε λόγω ηλικίας (είχε ξεπεράσει τα 40 του χρόνια). Σίγουρα ως θεώρημα δεν άξιζε κάτι τόσο σημαντικό. Αλλά η προσπάθεια των μαθηματικών μέσα στο πέρασμα των αιώνων να το αποδείξουν, έδωσαν στα μαθηματικά τεράστιες ανακαλύψεις. Θεμελιώθηκε η σύγχρονη Άλγεβρα και δημιουργήθηκαν κλάδοι των μαθηματικών βασιζόμενοι στις τεχνικές που ακολουθήθηκαν στο πέρασμα αυτό των αιώνων και αυτή ήταν και είναι η μεγαλύτερη προσφορά του θεωρήματος αυτού. Τώρα για το αν ο Fermat είχε πράγματι βρει μια απόδειξη, αυτό ποτέ δε θα το μάθουμε. Το σίγουρο είναι ότι αν είχε πράγματι βρει, θα ήταν διαφορετική με την απόδειξη του Wiles, καθώς οι περισσότερες τεχνικές του τελευταίου, δεν υπήρχαν στα χρόνια του Γάλλου μαθηματικού και οπωσδήποτε δεν θα χωρούσε στο περιθώριο του βιβλίου .