Μια από τις γνωστότερες επιτυχίες του Euler ήταν η επίλυση του προβλήματος με τις γέφυρες του Königsberg.Τον δέκατο όγδοο αιώνα, η σημερινή πόλη Καλίνινγκραντ της Ρωσίας ονομαζόταν Königsberg και ανήκε στην Πρωσία.Η πόλη είναι γνωστή και από τον πανέμορφο ποταμό της, τον Πρέγκελ, που δημιουργεί στο κέντρο της δυο μικρές νησίδες. Εκείνη την εποχή επτά γέφυρες συνέδεαν μεταξύ τους τις όχθες του ποταμού και τις δύο νησίδες με τη στεριά.Οι γέφυρες του Königsberg δημιούργησαν έναν διάσημο μαθηματικό γρίφο. Η προσπάθεια του Euler να βρει μια λύση στο πρόβλημα εγκαινίασε τη Θεωρία Γραφημάτων και την Τοπολογία.
Ποιος ήταν ο γρίφος; Οι κάτοικοι της πόλης έπαιζαν ένα ιδιόμορφο παιχνίδι με τις επτά γέφυρες. Ζητούσαν από τους περαστικούς να βρουν έναν τρόπο να κάνουν μια βόλτα στην πόλη τους και να επιστρέψουν στο σημείο απ΄όπου ξεκίνησαν, περνώντας και από τις επτά γέφυρες μόνο μία φορά. Αρκετοί έλεγαν ότι είχαν κάνει μια τέτοια βόλτα, αλλά όταν τους ζητούσαν να την επαναλάβουν ήταν αδύνατον να περάσουν από όλες τις γέφυρες μόνο μία φορά.
Ο Euler εφάρμοσε μια μαθηματική προσέγγιση για να καταλήξει στο απλό συμπέρασμα ότι το πρόβλημα που είχαν θέσει οι κάτοικοι της περιοχής δεν είχε λύση: δεν υπήρχε κανένας τρόπος να διασχίσει κάποιος και τις επτά γέφυρες, περνώντας από κάθε μία μόνο μία φορά.Το επίτευγμα του Όιλερ ήταν ότι κατάφερε να αποσυνδέσει το πρόβλημα από τις πραγματικές διαστάσεις της πόλης και να επικεντρωθεί στον τρόπο που συνδέονταν οι γέφυρες μεταξύ τους.
Σχεδίασε στο χαρτί τις γέφυρες για να διαπιστώσει, χωρίς να χρειαστεί να περπατά στην πόλη επί ώρες, ότι οι φυσικές λεπτομέρειες του προβλήματος δεν είχαν καμία σχέση με τη λύση του O Euler συνειδητοποίησε ότι σε ένα γράφημα που το μονοπάτι θα ήταν εφικτό, κάθε σημείο που θα επισκεπτόταν το μολύβι θα έπρεπε να είχε μία γραμμή να καταλήγει και μία να ξεκινάει από αυτό. Εάν επισκεπτόσουν αυτό το σημείο ξανά, θα έπρεπε να υπάρχει μία καινούργια γέφυρα προς αυτό και από αυτό. Έτσι θα έπρεπε να υπάρχουν μόνο ζυγοί αριθμοί γεφυρών που να ακουμπούν κάθε σημείο. Οι μόνες εξαιρέσεις αυτού κανόνα είναι η αρχή και το τέλος του μονοπατιού. Το σημείο εκκίνησης έχει μόνο μία γραμμή που ξεκινάει από αυτό και το σημείο τερματισμού μία γραμμή που καταλήγει σε αυτό. Έτσι για να είναι ένα μονοπάτι εφικτό, όχι παραπάνω από δύο σημεία – η αρχή και το τέλος – πρέπει να έχουν μονό αριθμό γραμμών. Αν όμως δούμε την κάτοψη των 7 γεφυρών του Königsberg, κάθε σημείο έχει μονό αριθμό γεφυρών που ξεπηδούν από αυτό. Για αυτό και το εν λόγω ταξίδι ήταν αδύνατο να πραγματοποιηθεί.
